Question

如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求线段DO的长；

（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于t的函数解析式；

（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．

Answer

（1）9（2）见解析（3）当t＝时，△POQ面积的最大值

【解析】

（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；

（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；

（3）由6＜t≤9时OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t可得△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质求解可得．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝12

由勾股定理得：

OD＝＝9．

（2）①当0≤t≤6时，OP＝12﹣2t，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝12﹣2t+9﹣t＝﹣3t+21

即：y＝﹣3t+21；

②当6＜t≤9时，OP＝2t﹣12，OQ＝9﹣t，则OP+OQ＝2t﹣12+9﹣t＝t﹣3

即：y＝t﹣3；

③当9＜t≤12时，OP＝2t﹣12，OQ＝t﹣9，则OP+OQ＝2t﹣12+t﹣9＝3t﹣21

即：y＝3t﹣21；

综上所述：y＝；

（3）如图，

当6＜t≤9时，∵OP＝12﹣2t、OQ＝9﹣t，

∴△POQ的面积S＝（9﹣t）（12﹣2t）

＝﹣t2+15t﹣54

＝﹣（t﹣）2+，

∴当t＝时，△POQ面积的最大值．