Question

已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

求证：（1）AE=DB；

（2）△CMN为等边三角形.

Answer

证明略

【解析】

证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，

∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，………… 2分

∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，

即∠ACE＝∠DCB． ……………… 3分

在△ACE和△DCB中，

∴△ACE≌△DCB(SAS)． ………… 5分

∴AE＝DB． ……………… 6分

(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB，

即∠CAM＝∠CDN． ……………… 7分

∵△DAC、△EBC均是等边三角形，

∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．

又点A、C、B在同一条直线上，

∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，

即∠DCN＝60°．

∴∠ACM＝∠DCN． ………… 8分

在△ACM和△DCN中，

∴△ACM≌△DCN(ASA)． ……………… 10分

∴CM＝CN． ……………… 11分

又∠DCN＝60°，

∴△CMN为等边三角形． ……………12分