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如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点,P为上一动点,延长BP至点...

如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点,P上一动点,延长BP至点Q,使BP•BQ=AB2.若点PA运动到C,则点Q运动的路径长为_____

 

4 【解析】 连接AQ,由BP•BQ=AB2,可证,从而可证△ABP∽△QBA,由相似三角形的性质知∠APB=∠QAB=90°,即QA始终与AB垂直.根据三角形中位线定理即可求出Q运动的路径长. 如图所示:连接AQ. ∵BP•BQ=AB2, ∴=. 又∵∠ABP=∠QBA, ∴△ABP∽△QBA, ∴∠APB=∠QAB=90°, ∴QA始终与AB垂直. 当点P在A点时,Q与A重合, 当点P在C点时,OC是中位线,则AQ=2OC=4,此时,Q运动到最远处, ∴点Q运动路径长为4. 故答案为:4.
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