Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）.B（4，0），C（0，2）三点，直线y＝kx+t经过B.C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；

（3）点D在运动过程中，若使O.C.D.E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣x+2；（2）D（2，﹣1）；（3）点D的坐标是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）时，都可以使O.C.D.E为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）设点D坐标为（m，m2-m+2），则E点的坐标为（m，-m+2），由DE=（-m+2）-（m2-m+2）=-m2+2m=-（m-2）2+2可得答案；

（3）分点D在DE上方和下方两种情况，用m的代数式表示出DE的长度，依据DE=2得出关于m的方程，解之可得．

（1）把点B（4，0），C（0，2）代入直线y＝kx+t，

得：，解得，

∴y＝﹣x+2；

把点A（1，0）.B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，

得：，解得，

∴y＝x2﹣x+2；

（2）设点D坐标为（m，m2﹣m+2），E点的坐标为（m，﹣m+2），

∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴当m＝2时，DE的长最大，为2，

当m＝2时，m2﹣m+2＝﹣1，

∴D（2，﹣1）；

（3）①当D在E下方时，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，

∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，

则﹣m2+2m＝2，解得m＝2，此时D（2，﹣1）；

②当D在E上方时，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，

令m2﹣2m＝2，解得m＝2，

∴此时D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），

综上所述，点D的坐标是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）时，都可以使O.C.D.E为顶点的四边形为平行四边形．