Question

如图，直线交坐标轴于A、B两点，直线AC⊥AB交x轴于点C，抛物线恰好过点A、B、C.

（1）求抛物线的表达式.

（2）当点M在线段AB上方的曲线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）；

【解析】

（1）由直线解析式可求出A、B两点坐标，由AC⊥AB，可证明ΔAOC∽ΔBOA，根据相似三角形的性质可求出OC的长，即可得C点坐标，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式；（2）过M点作MN⊥x轴，交直线AB于D点，设M点的横坐标为a，可得出M点和D点坐标，进而求出MD的长，可得△ABM的面积，根据S四边形AOBM=S△AOB+S△ABM可得关于a的二次函数，根据二次函数的性质即可求出四边形AOBM面积的最大值；

（1）∵直线交坐标轴A、B两点，

∴A（0，2）、B（4，0），

∴OA=2，OB=4，

∵AC⊥AB，OA⊥BC，

∴∠AOB=∠AOC=90°，∠OAC+∠OAB=90°，∠OAC+∠OCA=90°，

∴∠OCA=∠OAB，

∴ΔAOC∽ΔBOA

∴，

解得：OC=1

∴C（-1，0）

设抛物线的表达式为：，得，

解得，

∴抛物线的表达式为：

（2）过M点作MN⊥x轴，交直线AB于D点

设M点的横坐标为a，则M（a，）、D（a，）

∴

∴

∴

当a=2时，的值最大，则