Question

如图，△ABC是边长为1的等边三角形，过点C的直线m平行AB，D、E分别是线段AB、直线m上的点，先按如图方式进行折叠，点A、C分别落在A′、C′处，且A′C′经过点B，DE为折痕，当C′E⊥m时，的值为_____．

Answer

1+

【解析】

由折叠的性质得出∠C′ED=∠CED=45°，由平行线的性质得出∠BDE=∠DEC=45°，再由等边三角形的性质得出AB=AC=1，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，求出∠DFB=∠CFE=75°，得出∠BCE=60°，∠ACE=∠C′=120°，证出∠A′DB=90°，由直角三角形的性质得出A′B=2A′D，设AD=x，则BA′=2x，BD=1-x，A′D=x，BC′=1-2x，在Rt△A′BD中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．

∵C′E⊥m，

∴∠CEC′＝90°，

∵DE为折痕，

∴∠C′ED＝∠CED＝45°，

∵m∥AB，

∴∠BDE＝∠DEC＝45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝1，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

设CB与DE交于点F，如图所示：

则∠DFB＝∠CFE＝75°，

∴∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝∠C′＝120°，

∵∠A＝∠A′＝60°，

∴∠A′DE＝135°，

∴∠A′DB＝90°，

∴A′B＝2A′D，

∵A′D＝AD，

设AD＝x，则BA′＝2x，BD＝1﹣x，A′D＝x，BC′＝1﹣2x，

在Rt△A′BD中，由勾股定理得：x2+（1﹣x）2＝（2x）2，

解得：x＝（负值舍去），

∴x＝，

∴BA'＝﹣1+，BC'＝1﹣（﹣1+）＝2﹣，

∴＝＝1+；

故答案为：1+．