Question

如图，已知B（0，b）（b＞0）是y轴上一动点，直线l经过点A（1，0）及点B，将Rt△ABO折叠，使得点B与点O重合，折痕分别交y轴、直线AB于点E、F，连接OF．

（1）当b＝2时，求直线l的函数解析式；

（2）请用含有字母b的代数式表示线段OF的长，并说明线段OF与线段AB的数量关系；

（3）如图，在（1）的条件下，设点P是线段AB上一动点（不与A、B重合），将线段OP绕点O逆时针旋转90°至OQ，连结BQ、PQ，PQ交y轴于点T，设点P的横坐标为t．

①当△OPQ的面积最小时，求T的坐标；

②若△OPB是等腰三角形，请直接写出满足条件的t的值；

③若△OQB是直角三角形，请直接写出满足条件的t的值．

Answer

（1）y＝﹣2x+2；（2）OF＝，OF＝AB，见解析；（3）①T（0，），②t的值为或，③t的值为1﹣.

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；

（3）①根据垂线段最短可知，当OP⊥AB时，△OPQ的面积最小，求出P，Q的坐标，求出直线PQ的解析式即可解决问题；②分两种情形分别求解即可解决问题；③如图5中，取OB的中点G，连接BG．设P（t，-2t+2），求出点Q坐标，根据QG=1构建方程即可解决问题．

（1）如图1中，

由题意A（1，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，

解得，

∴直线l的解析式为y＝﹣2x+2；

（2）如图1中，∵OB＝b，OA＝1，

∴AB＝，

∵EF垂直平分线段BO，

∴BF＝FO，

∵EF∥OA，

∴BF＝AF，

∴OF＝AB＝；

（3）①如图2中，作PE⊥x轴于E，QF⊥x轴于F．

∵△POQ是等腰直角三角形，

∴当OP的值最小时，△POQ的面积最小，

根据垂线段最短可知，当OP⊥AB时，△OPQ的面积最小，

∵直线OP的解析式为y＝x，

由，

解得，

∴P（，），

∴OE＝，PE＝，

∵∠PEO＝∠QFO＝∠POQ＝90°，

∴∠POE+∠QOF＝90°，∠POE+∠OPE＝90°，

∴∠QOF＝∠OPE，

∵OP＝OQ，

∴△OEP≌△QFO（AAS），

∴QF＝OE＝，OF＝PE＝，

∴Q（﹣，），

∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，

∴T（0，）；

②如图3中，当BP＝OB＝2时，作PE⊥OA于E．

∵PE∥OB，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴PE＝，AE＝，

∴OE＝1﹣＝．

∴t＝．

如图4中，当PB＝PA时，OP＝PB满足条件，此时t＝．

综上所述，满足条件的t的值为或；

③如图5中，取OB的中点G，连接BG．设P（t，﹣2t+2），

易知Q（2t﹣2，t），G（0，1）当∠OQB＝90°时，

∵GB＝OG，

∴QG＝OB＝1，

∴（2t﹣2）2+（t﹣1）2＝1，

解得t＝1﹣或1+（舍弃），

∴满足条件的t的值为1﹣．