Question

平面直角坐标系在代数和几何之间架起了一座桥梁，实现了几何方法与代数方法的结合，使数与形统一了起来，在平面直角坐标系中，已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则A、B两点之间的距离可以表示为AB＝，例如A（2，1）、B（﹣1，2），则A、B两点之间的距离AB＝＝；反之，代数式也可以看作平面直角坐标系中的点C（5，1）与点D（1，﹣2）之间的距离．

（1）已知点M（﹣7，6），N（1，0），则M、N两点间的距离为　   　；

（2）求代数式 的最小值；

（3）求代数式|| 取最大值时，x的取值．

Answer

（1）10；（2）13；（3）

【解析】

（1）根据两点间的距离公式即可得到结论；

（2）由（1）可知：表示x轴上点P（x，0）与点E（-1，7）的距离PE和点A（x，0）与点F（4，5）的距离PF之和，即：PE+PF，作E关于x轴对称点（-1，-7），最小值等于长，由（1）即可得到结论；

（3）根据已知条件得到，由（1）可知：|

表示点A（x，0）与点E（2，3）的距离和点A（x，0）与点F（-，2）的距离之差，当最大值时，即直线EF与x轴的交点为A（x，0），于是得到结论．

【解析】
（1）∵点M（-7，6），N（1，0），

∴MN==10，

即M、N两点间的距离是10；

故答案为：10；

（2）由（1）可知：表示点P（x，0）与点E（-1，7）的距离和点A（x，0）与点F（4，5）的距离之和，

即在x轴找到一点到EF的和最小，由将军饮马模型可知作对称点，作E关于x轴对称点（-1，-7），连接，即AF+AE=为最小值，

∴最小值为的长，

∴EF==13；

∴代数式的最小值是13；

故答案为13.

（3）∵=，

∴由（1）可知：表示点P（x，0）与点E（2，3）的距离PE和点P（x，0）与点F（-，2）的距离之PF差，即|PE-PF|当P、E、F三点共线时取最大值时，即直线EF与x轴的交点为A（x，0），

设直线EF的解析式为y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线EF的解析式为

当y=0时，x= ，

∴代数式取最大值时，x的取值为，