Question

如图，抛物线与坐标轴分别交于点 ,点P是线段AB上方抛物线上的一个动点。

（1）当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？

（2）过点P作轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作交抛物线于点E,连接DE，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由。

       

Answer

（1）点P运动到P时，时，ΔPAB的面积有最大值；（2）或.

【解析】

（1）先用待定系数法求解可得抛物线函数解析式；然后作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=-x+6，设P（t，-t2+2t+6），则N（t，-t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；

（2）若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得答案．

【解析】
（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x-6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：-12a=6，

解得：a=-，

所以抛物线解析式为y=-（x-6）(x+2）=-x2+2x+6；

如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

,

解得：，

则直线AB解析式为y=-x+6，

设P（t，-t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，-t+6），

∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=PN•AG+PN•BM

=PN•（AG+BM）

=PN•OB

=×（-t2+3t）×6

=-t2+9t

=-（t-3）2+，

∴当t=3时，P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值；

（3）如图，

若△PDE为等腰直角三角形，

则PD=PE，

设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，

∵，

∴b=4-a，

∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，

又∵PD=-a2+2a+6-（-a+6）=-a2+3a，

∴-a2+3a=2|2-a|，

解得：a=4或a=5-，

所以P（4，6）或P（5-，3-5）．