Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．

（1）求证：BE=EC

（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DB=　    　；

②当∠B=　    　度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．

Answer

（1）见解析；（2）①3；②45.

【解析】

（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；

（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；

②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．

（1）证明：连接DO．

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线；

又∵ED也为⊙O的切线，

∴EC=ED，

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=ED，

∴BE=EC；

（2）【解析】
①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，

∴BC==6，

∵AC为直径，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

由（1）得：BE=EC，

∴DE=BC=3，

故答案为：3；

②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：

∵∠ACB=90°，

∴∠A=45°，

∵OA=OD，

∴∠ADO=45°，

∴∠AOD=90°，

∴∠DOC=90°，

∵∠ODE=90°，

∴四边形DECO是矩形，

∵OD=OC，

∴矩形DECO是正方形．

故答案为：45．