Question

（1）观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为；

（2）问题解决

如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；

（3）拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．

Answer

（1）BC=BD+CE，（2）；（3）.

【解析】

（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;

（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；

（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出

的值，根据勾股定理即可求出BD的长.

【解析】
（1）观察猜想

结论： BC=BD+CE，理由是：

如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，

∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，

∴∠D=∠EAC，

∵∠B=∠C=90°，AD=AE，

∴△ADB≌△EAC，

∴BD=AC，EC=AB，

∴BC=AB+AC=BD+CE；

（2）问题解决

如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，

由（1）同理得：△ABC≌△DEA，

∴DE=AB=2，AE=BC=4，

Rt△BDE中，BE=6，

由勾股定理得：

（3）拓展延伸

如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，

同理得：△CED≌△AFD，

∴CE=AF，ED=DF，

设AF=x，DF=y，

则，解得：

∴BF=2+1=3，DF=3，

由勾股定理得：