Question

如图,为的直径,是上的一点,过点的直线交的延长线于点, ,垂足为,是与的交点,平分

（1）求证：是的切线

（2）若, ,求图中阴影部分的面积

Answer

（1）见解析；（2）阴影部分的面积为8-

【解析】

（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；
（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD-S扇形OBC即可得到答案．

（1）连接OC,

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

∵AC平分∠BAE,

∴∠OAC=∠CAE,

∴∠OCA=∠CAE,

∴OC∥AE,

∴∠OCD=∠E,

∵AE⊥DE,

∴∠E=90°,

∴∠OCD=90°,

∴OC⊥CD,

∵点C在圆O上,OC为圆O的半径,

∴CD是圆O的切线；

（2）在Rt△AED中,

∵∠D=30°,AE=6,

∴AD=2AE=12,

在Rt△OCD中,∵∠D=30°,

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,

∴DB=OB=OC=AD=4,DO=8,

∴CD=

∴S△OCD=

∵∠D=30°,∠OCD=90°,

∴∠DOC=60°,

∴S扇形OBC=×π×OC2=π,

∵S阴影=S△COD-S扇形OBC

∴S阴影=8-,

∴阴影部分的面积为8-