Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．

（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；

（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．

Answer

（1）y＝x﹣，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（﹣5，﹣3）；（2）当x＝﹣2时，△APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为（﹣2，）．

【解析】

（1）令＝0求出A点的坐标，将A点坐标代入y＝x+b可求出直线解析式，联立抛物线和直线解析式可求出B点的坐标；

（2）设P（x，），则C（x，x﹣），由此表示出PC的长，根据三角形面积公式得到S△APB＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5），整理成顶点式，即可求出面积最大值和P的坐标.

（1）∵y＝，

∴当y＝0时，＝0，

解得x1＝﹣，x2＝1，

∴A点的坐标为（1，0）．

将A（1，0）代入y＝x+b，

得0＝×1+b，

解得b＝﹣，

∴直线的解析式为y＝x﹣．

由，解得，，

∴B点的坐标为（﹣5，﹣3）；

（2）设P（x，），则C（x，x﹣），

∴PC＝（）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，

∴S△APB＝PC•|xA﹣xB|

＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）

＝﹣3x2﹣12x+15

＝﹣3（x+2）2+27，

当x＝﹣2时，△APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为（﹣2，）．