Question

如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．

(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；

(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．

Answer

(1)AB＝6；(2)证明见解析.

【解析】

（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝BA＝3x；在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AM＝2BE＝2．由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，即可得40＝x2+9x2，解得x＝2．所以AB＝3x＝6；（2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．证明△ABF≌△ADH，根据全等三角形的性质可得AF＝AH，BF＝DH．再由Rt△FAH是等腰直角三角形，可得HF＝AF．由HF＝DH+DF＝BF+DF，可得BF+DF＝AF．

【解析】
(1)设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x，

∵BA＝BC，

∴BA＝3x．

在Rt△ABM中，E为斜边AM中点，

∴AM＝2BE＝2．

由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，

即40＝x2+9x2，解得x＝2．

∴AB＝3x＝6．

(2)延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点．

∵DF平分∠CDE，

∴∠1＝∠2．

∵DE＝DA，DP⊥AF

∴∠3＝∠4．

∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴∠2+∠3＝45°．

∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．

∴AH＝AF．

∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，

∴∠BAF＝∠DAH．

又AB＝AD，

∴△ABF≌△ADH(SAS)．

∴AF＝AH，BF＝DH．

∵Rt△FAH是等腰直角三角形，

∴HF＝AF．

∵HF＝DH+DF＝BF+DF，

∴BF+DF＝AF．