Question

如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，B（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N． 

（1）直接写出直线DE的解析式_________;

（2）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，求m的值.

(3)在分别过M,B的双曲线y＝（x＞0）上是否分别存在点F,G使得B,M,F,G构成平行四边形,若存在则求出F点坐标, 若不存在则说明理由.

Answer

（1）y=-x+3；（2）4.5（3）(3，).

【解析】

（1）将点D，E的坐标代入y=kx+b即可求出DE的解析式；
（2）联立直线MN解析式与反比例函数解析式，构造一元二次方程，使根的判别式为0即可；
（3）分别求出两条双曲线的解析式，设出点F，G的坐标，利用平行四边行的性质对边平行且相等及对角线互相平分，即可求出点F的坐标．

【解析】
（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
将点D（0，3），E（6，0）代入y=kx+b中，
得

解得，

∴直线DE的解析式为y=-x+3；

(2) 由（1）知，直线DE的解析式为y=-x+3，
∴直线MN的解析式为y=-x+3①，
∵反比例函数y=（x＞0）②，
联立①②化简得，x2-6x+2m=0，
∵反比例函数y=（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，
∴△=36-4×2m=4（9-2m）=0，∴m=；

(3) ）∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∵B（4，2），
∴点M的纵坐标为2，N的横坐标为4，
∵点M，N在直线DE：y=-x+3上，当y=2时，-x+3=2，
∴x=2，
∴M（2，2），
当x=4时，y=1，
∴N（（4，1），
将M（2，2）代入y1=，
得，m=4，
∴y1=，
将B（4，2）代入y2=，
得，m=8，
∴y2=，
设G（a，），F（b，），
①假设存在，如图1-1，当MB作为平行四边形一边时，
∵MB=2，yM=yB，
∴GF=2，yF=yG，

∴ 或

∴G（4，2），F（2，2），分别与B，M重合，舍去，
或G（-4，-2），F（-2，-2），在y轴左边，舍去；

②如图1-2，当MB为平行四边形对角线时，
MB与GF互相平分，

则= =3，= =2，

∴

解得， （舍去）或

∴G (3，)，F(3，).

综上所述，点F坐标为(3，).