Question

如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝ (a+b-c).

(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;

(3)若r=3, PD＝18, PC=27. 求△ABC各边长.

Answer

（1）证明见解析（2）45°（3）

【解析】

（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．
（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．
（3）由PD=18和r=3联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．

【解析】
（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，
∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE
∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°
∴四边形BDOF是矩形
∵OD=OF=r
∴矩形BDOF是正方形
∴BD=BF=r
∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r
∵AE+CE=AC
∴c-r+a-r=b
整理得：r= （a+b-c）

（2）取FH中点O，连接OD
∵FH∥BC
∴∠AFH=∠B=90°
∵AB与圆相切于点F，
∴FH为圆的直径，即O为圆心
∵FH∥BC
∴∠DOH=∠ODB=90°
∴∠CPD=∠DOH=45°

（3）设圆心为O，连接DO并延长交⊙O于点G，连接PG，过O作OM⊥PD于M
∴∠OMD=90°
∵PD=18
∴DM=PD=9
∵BF=BD=OD=r=3，
∴OM=＝＝＝3
∴tan∠MOD=＝3
∵DG为直径
∴∠DPG=90°
∴OM∥PG，∠G+∠ODM=90°
∴∠G=∠MOD
∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°
∴∠ADB=∠G
∴∠ADB=∠MOD
∴tan∠ADB==tan∠MOD=3
∴AB=3BD=3r=9
∴AE=AF=AB-BF=9−3＝6
设CE=CD=x，则BC=3+x，AC=6+x
∵AB2+BC2=AC2
∴(9)2．+(3+x)2＝(6+x)2
解得：x=9
∴BC=12，AC=15
∴△ABC各边长AB=9，AC=15，BC=12