Question

如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB=10，BC=6，M，N在AC边上，∠MON=∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM=_____．

Answer

或

【解析】

分两种情形分别求【解析】
①如图1中，当∠MON=∠OMN时．②如图2中，当∠MON=∠ONM时．

【解析】
∵∠ACB=90°，AO=OB，
∴OC=OA=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠MON=∠B，若△OMN与△OBC相似，
∴有两种情形：①如图1中，当∠MON=∠OMN时，

∵∠OMN=∠B，∠OMC+∠OMN=180°，
∴∠OMC+∠B=180°，
∴∠MOB+∠BCM=90°，
∴∠MOB=90°，
∵∠AOM=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴AM=，
∴CM=AC-AM=8-=．

②如图2中，当∠MON=∠ONM时，

∵∠BOC=∠OMN，
∴∠A+∠ACO=∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC=∠A，
∵∠MCO=∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2=CM•CA，
∴25=CM•8，
∴CM=，
故答案为:或．