Question

抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C.

（1）求抛物线表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，

①求点P坐标;

②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+最小时,求点G坐标.

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值

Answer

（1）y=x²﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）

【解析】

（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；
（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为▱CBPQ的面积为30，所以S△PBC= ×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+

GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；
（3）先用面积法求出sin∠ACB=，tan∠ACB=，在Rt△ABE中，求得圆的直径，因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=＝，所以BN=MB，当MB为直径时，BN的长度最大．

(1) 【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），
∴ 解得

∴抛物线表达式为y=x²﹣6x+4．

(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，

设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵B（5，-1），C（0，4），

∴ ，解得

∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），
∵▱CBPQ的面积为30，
∴S△PBC= ×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，
解得t=2或t=3，
当t=2时，y=-4
当t=3时，y=-5，

∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；

②当点P为（2，-4）时，
∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，
设直线QP的解析式为：y=-x+n，
将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，
∴直线QP的解析式为：y=-x-2，
∴F（0，-2），∠GOR=45°，
∴GB+GF=GB+GR
当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），
同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，
同理可得点G的坐标为（0，-2），

(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），
∴AC= ，BC=5，
∵S△ABC=AC×BCsin∠ACB＝AB×5，
∴sin∠ACB=，tan∠ACB=，
∵AE为直径，AB=4，
∴∠ABE=90°，
∵sin∠AEB=sin∠ACB=＝，
∴AE=2，
∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，
∴∠N=∠AEB=∠ACB，
∴tanN=＝，
∴BN=MB，
当MB为直径时，BN的长度最大，为3．