Question

如图所示，一条直线上从左往右依次有A、B、C、D四个点．

（1）如果线段AC、BC、BD的长分别为3a-b、a+b、4a-2b，试求A、D两点间的距离；

（2）如果将这条直线看作是以点C为原点的数轴（向右为正方向）．

①直接写出数轴上与点B距离为a+2b的点所表示的数______；

②设线段BD上一动点P所表示的数为x，求|x+a+b|+|x-3a+3b|的值（用含a、b的代数表示）；

③线段BD上有两个动点P、M，点P所表示的数为x，点M所表示的数为y，直接写出式子|x-y|+|x+a+b|+|x-y-6a+4b|的最小值______（用含a、b的代数表示）．

Answer

（1）6a-4b；（2）①b或-2a-3b；②4a-2b；③6a-4b．

【解析】

（1）根据线段的和差计算即可；

（2）①先根据题意表示出点B的坐标，再分所求点在点B的左右两种情况讨论即可；

②根据题意可知x＞-a-b，进而得出x+a+b＞0，由题意可得x＜3a-3b，进而得出x-3a+3b＜0，进一步求解即可；

③由AD的长即可得出结果．

【解析】
（1）AB=AC-BC=（3a-b）-（a+b）=3a-b-a-b=2a-2b；

∴AD=AB+BD=（2a-2b）+（4a-2b）=2a-2b+4a-2b=6a-4b；

（2）①∵点C为原点，BC=a+b，

∴点B的坐标为：-a-b，

∴数轴上与点B距离为a+2b的点所表示的数为（a+2b）+（-a-b）=b或-a-b-（a+2b）=-2a-3b．

故答案b或-2a-3b；

②x＞-a-b即x+a+b＞0，x＜3a-3b，即x-3a+3b＜0，

所以|x+a+b|+|x-3a+3b|=x+a+b-（x-3a+3b）=4a-2b；

③∵AD=6a-4b，

∴|x-y|+|x+a+b|+|x-y-6a+4b|的最小值6a-4b．

故答案为6a-4b．