Question

如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，点D在BC的延长线上，∠ABC的角平分线与AD交于E点，与AC交于F点，且AE＝AF．

（1）证明直线AD是⊙O的切线；

（2）若AD＝16，sinD＝，求BC的长．

Answer

(1)见解析;(2).

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠AEF=∠AFE，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBF，求得∠BAE=90°，于是得到结论；

（2）设AB=4k，BD=5k，得到AD=3k．求得AB=，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AF＝AE，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBF，

∵∠CFB＝∠AFE，

∴∠CFB＝∠AEB．

∵∠CFB+∠FBC＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝90°，

即∠BAE＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴直线AD是⊙O的切线；

（2）【解析】
设AB＝4k，BD＝5k，

∴AD＝3k．

∵AD＝16，

∴k＝，

∴AB＝，

∵∠BAD＝∠ACB＝90°，

∴∠D+∠CAD＝∠CAD+∠BAC＝90°，

∴∠D＝∠BAC，

∴sin∠BAC＝sin D＝．

∵sin∠BAC＝＝，

∴BC＝．