Question

如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M。

（1）求证：CD与⊙O相切;

（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径。

Answer

（1）证明见解析；（2）2-.

【解析】试题（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的 O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是 O的切线；

（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，则可得方程r+r=10，继而求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥ CD．

∵ BC切⊙ O于点E，

∴OE⊥ BC，OE=OA，

又∵AC为正方形ABCD的对角线，

∴∠ ACB=∠ ACD，

∴OF=OE=OA，

即：CD是⊙ O的切线．

（2）【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为10，

∴A B=BC=10，∠ B=90°，∠ ACB=45°，

∴AC==10，

∵OE⊥ BC，

∴OE=EC，

设OA=r，则OE=EC=r，

∴OC= ，

∵OA+OC=AC，

∴r+r=10，

解得：r=20﹣10．

∴⊙O的半径为：20﹣10．