Question

如图，中，，以上一点为圆心作圆与切于点，与分别交于点，连接并延长交的延长线于点.

求证：；

过点作于点，连接并延长交于点，连接，若平分，求证：；

在的条件下，延长交的延长交于点，连接并延长交于点,若，求的长.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据切线的性质可得，然后再根据等角的余角相等求得，再由等腰三角形的性质可得；

（2）根据全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质可得，再由圆的内接四边形对角互补的性质和圆周角定理可得，再由等弧对应的圆周角相等求得，从而得证；

（3）由全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据题意证明从而可得，根据等角的正切值相等可求得RD，HN，进而可求得OF和OH.

连接是的切线，

，

，

，，

，；

延长交于点，连接，

平分，

同理，

，

，

，，

∴，

是的直径，，∴弧等于弧，

；

延长交于点，连接，

由知，，

由知，，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

.