Question

如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。

Answer

【解析】
（1）把A（1，－4）代入，得k=2，∴。

令y=0，解得：x=3，∴B的坐标是（3，0）。

∵A为顶点，∴设抛物线的解析为。

把B（3，0）代入得：4a－4=0，解得a=1。

∴抛物线的解析式为即。

（2）存在。

∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC。

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=－x。

设P（m，－m），则，解得（，舍去）。

∴P（。

（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，

∴，即。∴。

∴，即。

②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，

∴，即。

∴，即。

③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即。

∴，解得OQ3=1或3，即Q3（0，－1），Q4（0，－3）。

综上，Q点坐标为或或（0，－1）或（0，－3）。

【解析】

试题（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解。

（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件。

（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可。