Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD=AE；

（2）若AB=6，AC=4，求AE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC和△ADC全等即可证明AD=AE，

（2）设AE=AD=x，CE=CD=y，利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出AE的长．

（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，

∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，

∵CE∥AB，

∴∠E=90°，

∴∠E=∠ADB，

∵在△ABC中，AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠BCA=∠ACE，

又∵AC=AC，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD=AE；

（2）【解析】
设AE=AD=x，CE=CD=y，

则BD=（6﹣y），

∵△AEC和△ADB为直角三角形，

∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，

AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入，

解得：x=，y=，

即AE的长为．