Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx﹣2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣2），OB=4OA，tan∠BCO=2．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点M从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动，同时点N从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点M作MP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．设点M、点N的运动时间为t（s），当t为多少时，△PNE是等腰三角形？

Answer

（1）A（﹣1，0）；（2）y=x2﹣x﹣2；（3）当t=1时，△PNE是等腰三角形．

【解析】

（1）由C（0，﹣2）知OC=2，根据tan∠BCO==2得OB=4，据此得出点B坐标，再由OB=4OA可得点A坐标；

（2）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得a、b的值，从而得出答案；

（3）由题意知AN=2t、BM=t，根据tan∠BME=tan∠BCO=2知=，求得OE=OB﹣BE=4﹣t，从而得出PE=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，再分点N在点E左侧和右侧两种情况，表示出NE的长，利用NE=PE列方程求解可得答案．

（1）∵C（0，﹣2），

∴OC=2，

由tan∠BCO==2得OB=4，

则点B（4，0），

∵OB=4OA，

∴OA=1，

则A（﹣1，0）；

（2）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y=ax2+bx﹣2，

得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；

（3）设点M、点N的运动时间为t（s），则AN=2t、BM=t，

∵PE⊥x轴，

∴PE∥OC，

∴∠BME=∠BCO，

则tan∠BME=tan∠BCO，即=2，

∴=，即 =，

则BE=t，

∴OE=OB﹣BE=4﹣t，

∴PE=﹣[（4﹣t）2﹣（4﹣t）﹣2]=﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2，

①点N在点E左侧时，即﹣1+2t＜4﹣t，解得t＜ ，

此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t，

∵△PNE是等腰三角形，

∴PE=NE，

即﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=5﹣3t，

整理，得：t2﹣11t+10=0，

解得：t=1或t=10＞（舍）；

②当点N在点E右侧时，即﹣1+2t＞4﹣t，解得t＞，

又且2t≤5，

∴＜t≤ ，

此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5，

由PE=NE得﹣（4﹣t）2+（4﹣t）+2=3t﹣5，

整理，得：t2+t﹣10=0，

解得：t=＜0，舍去；或t=＞，舍去；

综上，当t=1时，△PNE是等腰三角形．