Question

如图，为的内接三角形，为的直径，与相交于点，为的切线，交的延长线于.

（1）求证：；

（2）如图，若，求证：；

（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，的延长线交于点，点为的中点，若，求的长.

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，即.根据切线的性质有，则.又，根据等角的余角相等即可证明.

（2）连接、.根据，，得到.

根据等边对等角得到，则，，，即，即可证明.

（3）过点作于，过点作于，连接.根据，得到，，则.又，则. 设，则，，，，根据勾股定理，得，.又，则，即可求出，又，.易求，，即可求解.

（1）连接，∵为直径，∴，∴.

∵为直径，为切线，∴，∴.

∵，∴.

（2）连接、.

∵，，∴.

∵，∴，∴.

∵，∴，∴.

∵，∴，

∴，

∴，∴.

（3）过点作于，过点作于，连接.

∵，∴，∵，∴.

∵，∴，

∵，∴.

∵，∴.

设，则，，，，根据勾股定理，得，.

∵，∴，∴，∵，.

易求，，∴.