Question

已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部（如图），将半圆O绕点A顺时针旋转α度（0°≤α≤180°）

（1）半圆的直径落在对角线AC上时，如图所示，半圆与AB的交点为M，求AM的长；

（2）半圆与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，如图所示，求劣弧AP的长；

（3）在旋转过程中，半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，直接写出d的取值范围．

Answer

（1）AM=；（2）=π；（3）4-≤d＜4或d=4+．

【解析】

（1）连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；

（2）连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；

（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．

（1）在图2中，连接B′M，则∠B′MA=90°．

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，

∴AC=5．

∵∠B=∠B′MA=90°，∠BCA=∠MAB′，

∴△ABC∽△AMB′，

∴=，即=，

∴AM=；

（2）在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，

∵半圆与直线CD相切，

∴ON⊥DN，

∴四边形DGON为矩形，

∴DG=ON=2，

∴AG=AD-DG=1．

在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=1，

∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．

又∵OA=OP，

∴△AOP为等边三角形，

∴==π．

（3）由（2）可知：△AOP为等边三角形，

∴DN=GO=OA=，

∴CN=CD+DN=4+．

当点B′在直线CD上时，如图4所示，

在Rt△AB′D中（点B′在点D左边），AB′=4，AD=3，

∴B′D==，

∴CB′=4-．

∵AB′为直径，

∴∠ADB′=90°，

∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．

∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4-≤d＜4或d=4+．