Question

已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=x²-4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．

（1）求点C和点A的坐标．

（2）定义“L双抛图形”：直线x=t将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=t的对称图形，得到的整个图形称为抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”（特别地，当直线x=t恰好是抛物线的对称轴时，得到的“L双抛图形”不变），

①当t=0时，抛物线L关于直找x=0的“L双抛图形”如图所示，直线y=3与“L双抛图形”有______个交点；

②若抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，结合图象，直接写出t的取值范围：______；

③当直线x=t经过点A时，“L双抛图形”如图所示，现将线段AC所在直线沿水平（x轴）方向左右平移，交“L双抛图形”于点P，交x轴于点Q，满足PQ=AC时，求点P的坐标．

Answer

（1）C（2，-1），A（1，0）；（2）①3，②0＜t＜4，③（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）

【解析】

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，然后求得方程的解，从而可得到A、B的坐标，然后再求得抛物线的对称轴为x=2，最后将x=2代入可求得点C的纵坐标；

（2）①抛物线与y轴交点坐标为（0，3），然后做出直线y=3，然后找出交点个数即可；②将y=3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可得到直线y=3与“L双抛图形”恰好有3个交点时t的取值，然后结合函数图象可得到“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点时t的取值范围；③首先证明四边形ACQP为平行四边形，由可得到点P的纵坐标为1，然后由函数解析式可求得点P的横坐标．

（1）令y=0得：x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴抛物线的对称轴为x=2，

将x=2代入抛物线的解析式得：y=-1，

∴C（2，-1）；

（2）①将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，

∴抛物线与y轴交点坐标为（0，3），

如图所示：作直线y=3，

由图象可知：直线y=3与“L双抛图形”有3个交点，

故答案为：3；

②将y=3代入得：x2-4x+3=3，解得：x=0或x=4，

由函数图象可知：当0＜t＜4时，抛物线L关于直线x=t的“L双抛图形”与直线y=3恰好有两个交点，

故答案为：0＜t＜4．

③如图2所示：

∵PQ∥AC且PQ=AC，

∴四边形ACQP为平行四边形，

又∵点C的纵坐标为-1，

∴点P的纵坐标为1，

将y=1代入抛物线的解析式得：x2-4x+3=1，解得：x=+2或x=-+2．

∴点P的坐标为（+2，1）或（-+2，1），

当点P（-1，0）时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点（+2，1）或（-+2，1）或（-1，0）