Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am²+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；其中正确的有（　　）个．

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer

B

【解析】

根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为x==1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断④．

【解析】
①∵二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．

∴二次函数的对称轴为x==1，即=1，

∴2a+b=0．

故①正确；

②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．

又∵b=-2a．

∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．

∴3b=-6a，2c=-6a．

∴2c=3b．

故②错误；

③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．

∴x=1时，二次函数有最小值．

∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．

即a+b＜am2+bm．

故③正确；

④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．

∴AD2+BD2=42．

解得，AD2=8．

设点D坐标为（1，y）．

则[1-（-1）]2+y2=AD2．

解得y=±2．

∵点D在x轴下方．

∴点D为（1，-2）．

∵二次函数的顶点D为（1，-2），过点A（-1，0）．

设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2．

∴0=a（-1-1）2-2．

解得a=．

故④正确；

故选：B．