Question

如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，OB与⊙O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）求证：△GOC∽△GEF；

（3）若AB=4BD，求sinA的值．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．

证明：（1）∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切线．

（2）∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∵OD=OC，

∴OD•EG=OG•EF．

（3）∵AB=4BD，

∴BC=2BD，设BD=m，BC=2m，OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

即（r+m）2=r2+（2m）2，

解得：r=1.5m，OB=2.5m，

∴sinA=sinB=.