Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．

（1）求抛物线的顶点M的坐标；

（2）当点E与原点O的重合时，求点P的坐标；

（3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少？

Answer

（1）（1，-4）．（2）当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，）或（1，）．（3）点E到抛物线对称轴的最大距离是4．

【解析】

（1）利用配方法将抛物线的解析式由一般式变形为顶点式，进而即可得出顶点M的坐标；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点C作CF⊥直线MN，垂足为点F，易证△PON∽△CPF，利用相似三角形的性质可得出关于PN长度的一元二次方程，解之即可得出PN的长，进而可得出点P的坐标；

（3）过点C作CF⊥直线MN，垂足为点F，设PN=m，分0＜m＜3，m=0或m=3，3＜m≤4三种情况考虑：①当0＜m＜3时，由（2）可知：△PEN∽△CPF，利用相似三角形的性质可得出EN关于m的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；②当m=0或3时，点E和点N重合，此时EN=0；③当3＜m≤4时，易证△PCF∽△EPN，利用相似三角形的性质可得出EN关于m的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．综上，取EN的最大值即可得出结论．

【解析】
（1）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．

（2）当x=0时，y=x2-2x-3=-3，

∴点C的坐标为（0，-3）．

过点C作CF⊥直线MN，垂足为点F，如图1所示．

∵∠PON+∠OPN=90°，∠OPN+∠CPF=180°-∠CPO=90°，

∴∠PON=∠CPF．

又∵∠PNO=∠CFP=90°，

∴△PON∽△CPF，

∴=，即=，

∴PN=，

∴当点E与原点O的重合时，点P的坐标为（1，）或（1，）．

（3）过点C作CF⊥直线MN，垂足为点F，设PN=m，分三种情况考虑，如图2所示．

①当0＜m＜3时，由（2）可知：△PEN∽△CPF，

∴=，即=m，

∴EN=-m2+3m=-（m-）2+．

∵-1＜0，

∴当m=时，EN取得最大值，最大值为；

②当m=0或3时，点E和点N重合，此时EN=0；

③当3＜m≤4时，∵∠PCF+∠CPF=90°，∠CPF+∠EPN=90°，

∴∠PCF=∠EPN．

又∵∠CFP=∠PNE=90°，

∴△PCF∽△EPN，

∴=，即=，

∴EN=m2-3m．

∵1＞0，

∴当3＜m≤4时，EN的值随m值的增大而增大，

∴当m=4时，EN取得最大值，最大值为4．

综上所述：点E到抛物线对称轴的最大距离是4．