Question

在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在 CD 上，CF =AE，连接 BF，AF．

（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；

（2）若 AF 平分∠BAD，交DE与H点，且 AB=3AE，BF=6，求AH的长．

Answer

（1）证明见解析; （2）4.

【解析】

（1）由CF =AE易得BE=DF．根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．

（2）由AF 平分∠BAD，结合平行四边形性质可知AD=DF，而AB=3AE，即可知AD=DF=2AE，推出∠ADE=30°，由此可以解题.

（1）证明：∵ 在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，

∵CF=AE，

∴AB－AE＝CD－CF，

即 BE＝DF，

∵BE∥DF，

∴ 四边形DEBF是□DEBF，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90º，

∴四边形 BFDE 是矩形.

（2）【解析】
∵AF 平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AD=DF，

∵AB=3AE

∴BD=2AE

∵BD=DF，AD=DF

∴AD=2AE，又∠AED=90º

∴∠4=30º，∠DAE=60º

在矩形DEBF中DE=BF=6

∴AE =2

在 RtΔAEH 中，∵∠AEH=90º，∠1=∠DAE=30º

∴AH= = 4