Question

在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2经过点A（m,-2），将点A向右平移7个单位长度，得到点B，抛物线的顶点为C.

（1）求m的值和点B的坐标；

（2）求点C的坐标（用含n的代数式表示）；

（3）若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求n的取值范围.

Answer

（1）m=－4，B（3，-2）；（2）C（2，1-4n）；（3）n≤或n=或n＞1.

【解析】

（1）根据直线 y=x+2 经过点 A（m,-2）可求点A的坐标，根据平移的性质可求点B的坐标；
（2）将二次函数解析式用配方法变形为顶点式即可求出C点坐标；
（3）结合图形，分三种情况：①n＞0；②n＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．

【解析】
（1）∵直线 y=x+2 经过点 A（m,-2），

∴m+2=-2，

∴m=-4，

∵将点 A（-4，-2） 向右平移7个单位长度，得到点B，

∴B点坐标为（3，-2）

（2），

∴

∴

∴

∴抛物线的顶点为C为（2，1-4n）

（3）又（2）可知抛物线对称轴为x=2， 顶点C为（2，1-4n），点（3，1-3n）、（-4，1+32n）

当n＜0时，抛物线顶点C为（2，1-4n）、（3，1-3n），在B在抛物线下方，右侧无交点，

∴A在抛物线上方，即：1+32n≤-2，

∴n≤

当n＞0时，若抛物线顶点在AB上，如图：

即1-4n=-2， n=，

当n＞0时，若抛物线顶点在AB下方，而点B在抛物线下方，点A在抛物线下方，

即：，

∴ n＞1

故当n≤或n=或n＞1时，若抛物线与线段AB只有一个公共点，