Question

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．

（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长．

Answer

（1）PD与⊙相切于点．（2）

【解析】

试题（1）连接OD，欲证PD是的切线，只需证明即可，通过全等三角形的对应角来证明该结论．

（2）作于点M ，先求得，从而求得，得出，然后证得，得出．

中，，设，，则OC=3，进而得出，从而求的，，通过得出，即可求得EG．

试题解析：

（1）证明：联结

∵在⊙中，，于点，

∴．又∵，∴≌．

∴．

又∵切⊙于点，为⊙半径，

∴．．

∴．∴．∴于点．

∴PD与⊙相切于点．

（2）作于点．

∵，于点，∴，．∴．

∵，∴Rt△OCE中，．

∵，∴．∴，．

又∵，，∴．

∵，，∴≌．∴，．

∵在Rt△OCE中，，设，∴．

∴，．∴．∴，．

又∵，∴∥．

∴∽．∴，即．

∴．