Question

如图，正方形 ABCD 中，P 是 BA 延长线上一点，且PDA  （0    45）.点 A，点 E 关于 DP 对称，连接 ED，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF .

（1）请按照题目要求补全图形.

（2）求证：∠EDF=∠CDF

（3）求∠EDF(含有 的式子表示)；

（4）过 P 做PH⊥DP交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.

 

Answer

(1)图见解析，（2）证明见解析；（3）∠EDF=45°，（4）BH=.

【解析】

（1）根据题目条件直接作图即可；

（2）根据对称可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易证Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到结论.（3）根据（2）可得∠EDF=∠CDF=∠PDC，即可得∠EDF=45°+；

（4）作HG⊥PB，构造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,进而可证△PDA≌△HPG， HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以BH=PA.

(1)如图：

（2）证明：∵点 A，点 E 关于 DP 对称，

∴DE=AD，∠PAD=∠DEP，

∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠C=∠DAB=90°，

∴DE=CD，∠E=∠C=90°，

在Rt△EDF和Rt△CDF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△CDF（HL），

∴∠EDF=∠CDF.

（3）由（2）得∠EDF=∠CDF=∠PDC，

又∵∠PDC=90°+2.

∴∠EDF=45°+.

（4）结论：BH=PA.

如图：过H点作HG垂直于PB，

∵∠PDF=∠EDF-∠EPD，

∵∠EDF=45°+，∠EPD=，

∴∠PDF=45°.

又∵PD⊥PF，

∴△PDG是等腰直角三角形，

∴AP=HP，

又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°，

∴∠PDA=∠HPA,

在△PDA和△HPG中，

，

∴△PDA≌△HPG（AAS）

∴PA=HG,DA=PG,

∵DA=AB，

∴BG=PA，

∴△HGB为等腰直角三角形，

∴BH=，

∴BH=PA.