Question

在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x₁，y₁)与P₂(x₂，y₂)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x₁x₂|≥|y₁y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁x₂|；

若|x₁x₂||y₁y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|y₁y₂|.

例如：点P₁(1，2)，点P₂(3，5)，因为|13||25|，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为|25|3，也就是图中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点）.

（1）已知点A(0,1)，

①在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四个点中，与点A的“非常距离”为的点是；

②点F为x轴上一动点，直接写出点A与点F的“非常距离”的最小值；

（2）已知点M是直线y2x6上的一个动点，

①点G的坐标是（0，2），求点M与点G的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标；

①点N是以点（4，0）为圆心，为半径的圆上的一个动点，直接写出点M与点N的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标.

Answer

（1）①B ，E；②1； （2）①点 M 的坐标为()，②M 与点 N 的“非常距离”的最小值为 3，M (1, 4) .

【解析】

（1）①由“非常距离”的定义可以确定在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四个点中，与点A的“非常距离”，据此可以得答案；
②设点F的坐标为（x，0），根据|0-x|＜|0-1|，得出点F与点A的“非常距离”最小值为|0-1|=1，即可得出答案；
（2）①设点M的坐标为(x0,2x06)，先确定出M点的位置，由M在直线y=2x+6上，设出M点坐标(x0,2x06)，由条件可求得M点坐标及点M与点G的“非常距离”d的最小值及相应的点M的坐标；；
②当点P在过原点且与直线y=-2x-6垂直的直线上时，点M与点P的“非常距离”最小，利用相似求出P（2，1），进而求解即可．

【解析】

（1）①根据定义可得：

点A（0，1）与点B(,0)的“非常距离”为=；

点A（0，1）与点C(2,1)的“非常距离”为=2；

点A（0，1）与点D(-1,2)的“非常距离”为=1；

点A（0，1）与点E(0,-)的“非常距离”为=；

故与点A的“非常距离”为的是B,E.

(2)设点F的坐标为（x，0），若点F与点A的“非常距离”最小值，则|0-x|＜|0-1|故为“非常距离”最小值|0-1|=1，

故答案为①B，E；②1；

（2）①过M点作y轴的垂线，垂足为点H，连结MG，当点M在点G的左上方且使△MGH为等腰直角三角形时，点M与点G的“非常距离”最小．
设点M的坐标为(x0,2x06)，由HM=HN得

|x0-0|=|2x06-2|，解得：x0=-4，或x0=

∴点M的坐标为（-4，-2）或（，），

∴HM=HN=4或，
∴点M与点N的“非常距离”的最小值为，相应的M的坐标为（，）；

②.当点N在过圆心P且与直线y=2x+6垂直的直线上时，点M与点N的“非常距离”最小，设N（x，y）（点N位于第一象限）．过N点作NH⊥x轴，

直线y=2x+6交坐标轴于A（0，6），B（-3，0），

∴AB=3，

∵△PBM∽△PNH，

∴

∵PN=

∴NH=1，PH=2，

∵P（4，0），

∴N（2，1），

当2-x02x061

∴x01

∴M(1,4),

点M与点N的“非常距离”的最小值为3.