Question

如图，直线1₁∥l₂，⊙O与1₁和l₂分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l₁和l₂上的动点，MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．

（1）当MN与⊙O相切时，求AM的长；

（2）当∠MON为多少度时，MN与⊙O相切，并给出证明．

Answer

（1）AM的长为或；（2）当∠MON=90°时，MN与⊙O相切；证明见解析.

【解析】

（1）连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO∠AMN=30°．在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM．当MN在AB右侧时，同理可得：AM'；

（2）当∠MON=90°时，MN与⊙O相切，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．

（1）当MN与⊙O相切，如图，连结OM，ON，分两种情况讨论：

①当MN在AB左侧时，∠AMO∠AMN60°=30°．在Rt△AMO中，tan∠AMO，即AM；

②当MN在AB右侧时，∠AM'O∠AM'N（180°－60°）=60°．在Rt△AM'O中，tan∠AM'O，即AM'．

综上所述：AM的长为或；

（2）当∠MON=90°时，MN与⊙O相切．证明如下：

作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图，∵⊙O与11和l2分别相切于点A和点B，∴∠OAF=∠OBN=90°．

∵直线11∥l2，∴A、O、B共线．

在△OAF和△OBN中，∵，∴△OAF≌△OBN（AAS），∴OF=ON，∴MO垂直平分NF，∴OM平分∠NMF，∴OE=OA，∴MN为⊙O的切线．