Question

如图，点A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P，且FG＝FB＝3．

（1）求证：BF＝EF；

（2）求tanP；

（3）求⊙O的半径r．

Answer

（1）证明见解析；（2）tanP＝；（3）r＝3．

【解析】

（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理的，等量代换即可得到结论；

（2）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝，根据平行线的性质得到∠AFH＝∠APD，根据锐角三角函数的定义即可得到结论；

（3）设半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

（1）∵EB是切线，AD⊥BC，

∴∠EBC＝∠ADC＝90°，

∴AD∥EB，

∴，

∵AG＝GD，

∴EF＝FB；

（2）连接AB，

∵BC是直径，

∴∠BAC＝∠BAE＝90°，

∵EF＝FB，

∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，

过点F作FH⊥AG交AG于点H，

∵FA＝FG，FH⊥AG，

∴AH＝HG，

∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，

∴四边形FBDH是矩形，

∴FB＝DH＝3，

∵AG＝GD，

∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH＝

∵FH∥PD，

∴∠AFH＝∠APD，

∴tanP＝tan∠AFH＝；

（3）设半径为r，在RT△ADO中，

∵AO2＝AD2+OD2，

∴r2＝42+（r﹣2）2，

．∴r＝3．