Question

如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作交的延长线于点,为的中点，连结，.

（1）求的度数.

（2）求证：是的切线.

（3）若时，求的值.

Answer

(1)90°；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）AC是直径，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°；

（2）首先根据等腰三角形的性质得到∠DAO=∠ADO ，然后根据直角三角形斜边的中线的性质得到∠DEF=∠EDF，再根据∠DAO +∠DEF=90°，之后等量替换得到∠ODF=90°，从而证明DF是⊙O的切线；

（3）先证明△ADC∽△ACE，然后根据tan∠ABD=3可得tan∠ACD=3，设AD=3x，则CD=x，AC=x，用相似三角形的性质可求出DE=x，再求即可.

【解析】
（1）因为∠ADC是直径AC对应的圆周角，所以∠ADC=90°，所以∠CDE=90°.

（2）如图所示，连接OD,

因为OA=OD，所以△DAO是等腰三角形，则∠DAO=∠ADO，

由（1）得∠CDE=90°，所以△CDE是直角三角形,

又因为F是Rt△CDE斜边CE的中点，所以，

所以△DEF是等腰三角形，故∠DEF=∠EDF，

因为CE⊥AC，所以△ACE是直角三角形,

根据三角形内角和为180°，所以在Rt△ACE中∠DAO +∠DEF=90°，

因为∠DAO=∠ADO ，∠DEF=∠EDF ，

所以∠ODF=180°-（∠ADO+∠EDF）=180°-（∠DAO +∠DEF）=90°，

所以DF⊥OD，故DF是⊙O的切线；

（3）在△ADC和△ACE中，，

所以△ADC∽△ACE，根据相似三角形的性质，得，

因为tan∠ABD=3，所以tan∠ACD=3,

设AD=3x，则CD=x，∴AC=x，

所以，所以AE=x，DE=x,

所以.