Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．

（1）如图①，若OE＝DE，求的值；

（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；

（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，

①用含a的代数式表示点E的横坐标x_E；②若x_E＝BC，求a的值．

Answer

（1）；（2）OC＝2﹣2；（3）①xE＝；②a的值为±1．

【解析】

（1）根据三角形的面积公式计算；

（2）作OF⊥AC于点F，根据一次函数的性质求出OA、OB，根据正切的定义得到tan∠ODC＝2，设DF＝m，根据勾股定理用m表示出OD，计算即可；

（3）①作EH⊥AO于点H，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；

②分C在点B右侧、C在点B左侧两种情况，分别列出方程，解方程即可．

（1）∵OE＝DE，

∴S△AOE＝S△ADE，

∵AD＝CD，

∴S△CDE＝S△ADE，

∴，

故答案为：；

（2）作OF⊥AC于点F，

对于直线y＝﹣2x+4，当y＝0时，x＝2，当x＝0时，y＝4，

则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA＝4，OB＝2，

∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠ADO＝∠ABC，

∴∠ODC＝∠ABO，

∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，

设DF＝m，则OF＝2m，

由勾股定理得，OD＝m，

∴CF＝（﹣1）m，

∴tan∠OCD＝，

∴，即，

解得，OC＝2﹣2；

（3）①设直线OD交⊙D另一点为G，连结AG，作EH⊥AO于点H，

则EH∥AG，

∴，，

∴＝1，即＝1，

解得，xE＝；

②当C在点B右侧时，BC＝xE，即a﹣2＝xE，

∴a﹣2＝，

解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），

当C在点B左侧时，BC＝xE，即2﹣a＝xE，

∴2﹣a＝，

解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），

所以a的值为±1．