Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点E是边AB上一点，点P是对角线BD上一点，且PE⊥PC．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若BE＝2，求PB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.证明△PFE≌△PGC即可.

设EF=x.根据 △PFE≌△PGC .得到GC=EF=x. 由BE=2得：BF=x＋2.

由正方形FBGP得：BG=x＋2. BG＋GC=6.列出方程，求出，在△PFB中，用勾股定理即可求出PB的长.

⑴ 过点P作PF⊥AB，PG⊥BC，垂足分别为点F、G.

∴ ∠PFB=∠PGB=∠PGC=90°,

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ ∠A=∠ABC=90°，AB=AD=BC,

∴ ∠ABD=∠ADB=45°，四边形FBGP是矩形,

∴ ∠FPB=90°－∠ABD=90°－45°=45°,

∴ ∠ABD=∠FPB,

∴ FP=FB,

∴ 矩形FBGP是正方形,

∴ PF=PG，∠FPG=90°,

∴ ∠FPG＋∠EPG=90°,

∵ EP⊥PC,

∴ ∠EPC=90°,

∴ ∠GPC＋∠EPG=90°,

∴ ∠FPG=∠GPC ,

∵ ∠FPG=∠GPC ，PF=PG，∠PFE=∠PGC,

∴△PFE≌△PGC（ASA）

∴ PE=PC.

（方法不唯一，酌情给分）

⑵ 设EF=x.

∵ △PFE≌△PGC .

∴ GC=EF=x.

由BE=2得：BF=x＋2.

由正方形FBGP得：BG=x＋2.

∵ BC=6,

∴ BG＋GC=6.

∴ （x＋2）＋x=6,

解得：x=2.

∴ PF=BF=2＋2=4 ,

△PFB中，∠PFB=90°，由勾股定理得：,

∵ PB＞0

∴

答：PB的长为