Question

如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．

（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．

（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．

（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．

（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．

Answer

（1）108﹣8t。

（2）。

（3）当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分。

（4）当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC。

【解析】

试题（1）分情况讨论：当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值。

当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8；

当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t。

（2）分类讨论：当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式。

当点P与点A重合时，BP=AB，t=1。

当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=。

当0＜t＜1时，如图，

作过点Q作QE⊥AB于点E，

S△ABQ=，

即。

∴。

∴S=。

当1＜t≤时，如图，

S=。

综上所述， 。

（3）分类讨论：当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可。

点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。

当0＜t≤1时，如图，

∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM。

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。

在△BPM和△RQM中，，

∴△BPM≌△RQM（AAS）。∴BP=RQ。

∵RQ=AB，∴BP=AB。

∴13t=13，解得：t=1。

当1＜t≤时，如图，

∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合。

∴t=。

当＜t≤时，如图，

∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR。

∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分。

（4）分类讨论：

当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，如图，

∴∠C′OQ=∠OQC。

∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。

∴∠CQO=∠COQ。∴QC=OC。

∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，

或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，

解得：t=7或t=。

当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图，

同理由菱形的性质可以得出：OD=PD。

∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1），

或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）。

50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）无解；

由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=。

综上所述，当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC。