Question

如图，▱ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．

（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC＝45°，∠BAF＝∠ECF，AB＝，EF＝1，求AD的长；

（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE＝CF且∠BEC＝90°，G为AB上一点，作GP⊥BE且GP＝CE，并以BG为斜边作等腰Rt△BGH，连接EP、EH．求证：EP＝EH．

Answer

（1）AD＝3．（2）见解析．

【解析】

（1）证明△AFB≌△CFE（AAS），推出BF=EF=1，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
（2）如图2中，设PG交BE于T，BE交GH于Q．证明△BAE≌△EFC（ASA），推出BE=EC，再证明△EHB≌△PHG（SAS），推出△EHP是等腰直角三角形即可解决问题．

（1）【解析】
如图1中，

∵AF⊥BC，

∴∠AFB＝∠CFE＝90°，

∵∠EBC＝45°，

∴∠EBF＝∠BEF＝45°，

∴FB＝FE，

∵∠BAF＝∠ECF，

∴△AFB≌△CFE（AAS），

∴BF＝EF＝1，

∵AB＝ ，

∴AF＝CF＝ ＝2，

∴BC＝BF+CF＝3，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝3；

（2）证明：如图2中，设PG交BE于T，BE交GH于Q．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵AF⊥CD，

∴AF⊥AB，

∴∠BAE＝∠EFC＝90°，

∵∠BEC＝90°，

∴∠AEB+∠CEF＝90°，∠CEF+∠ECF＝90°，

∴∠AEB＝∠ECF，

∵AE＝CF，

∴△BAE≌△EFC（ASA），

∴BE＝EC，

∵GP＝EC，

∴GP＝BE，

∵GP⊥BE，

∴∠GTQ＝90°，

∵BH＝GH，∠BHG＝90°，

∴∠BHQ＝∠GTQ，

∵∠GQT＝∠BQH，

∴∠HGP＝∠HBE，

∴△EHB≌△PHG（SAS），

∴EH＝PH，∠TEO＝∠OPH，

∵∠EOT＝∠POH，

∴∠PHO＝∠ETO＝90°，

∴△EHP是等腰直角三角形，

∴PE＝EH．

故答案为：（1）AD＝3．（2）见解析．