Question

如图1，平面直角坐标系中，直线y₁＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y₂＝﹣2x+b经过点A，已知点C（﹣1，0），直线BC与直线y₂相交于点D．

（1）请直接写出：A点坐标为     ，直线BC解析式为     ，D点坐标为     ；

（2）若线段OA在x轴上移动，且点O，A移动后的对应点为O₁、A₁，首尾顺次连接点O₁、A₁、D、B构成四边形O₁A₁DB，当四边形O₁A₁DB的周长最小时，y轴上是否存在点M，使|A₁M﹣DM|有最大值，若存在，请求出此时M的坐标；若不存在请说明理由．

（3）如图3，过点D作DE∥y轴，与直线AB交于点E，若Q为线段AD上一动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到直线AB上方的△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△AEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（4，0），y＝3x+3，（1，6）；（2）M（0，9）；（3）或．

【解析】

（1）利用坐标轴上点的特点求出点A，B坐标，进而利用待定系数法求出直线AD的解析式，联立两直线解析式求解即可得出点D坐标；
（2）利用对称性和平行四边形的性质找出四边形O1A1DB的周长最小时点A1的位置，再利用待定系数法求出直线DG的解析式，即可得出结论；
（3）分两种情况，先求出DE，再利用锐角三角函数求出EF，进而利用勾股定理求出DF，再利用角平分线的性质，求出DN，最后利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解即可．

【解析】
（1）对于直线y1＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，

∴B（0，3），令y＝0，则0＝﹣x+3，

∴x＝4，

∴A（4，0），

∵直线y2＝﹣2x+b经过点A，

∴﹣2×4+b＝0，

∴b＝8，

∴直线y2＝﹣2x+8①，

设直线BC的解析式为 mx+n，

∵C（﹣1，0），

∴ ，

∴ ，

∴直线BC的解析式为y＝3x+3②，

联立①②解得， ，

∴D（1，6），

故答案为：（4，0），y＝3x+3，（1，6）；

（2）如图1，

作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣3），以OA与OB'为边作▱OB'GA，

∴B'G＝OA，

∵∠AOB'＝90°，

∴▱OB'GA是矩形，

∴G（4，﹣3），

连接DG，向左平移OA使点A落在DG与x轴的交点上，记作A1，连接O1B'，

此时四边形O1A1DB的周长最小，

设直线DG的解析式为y＝kx+a，

∵D（1，6），

∴ ，

∴ ，

∴直线DG的解析式为y＝﹣3x+9，

要|A1M﹣DM|有最大值，则点M是DG与y轴的交点，如图2，

∴M（0，9）；

（3）∵DE∥y轴，D（1，6），

∴E（1， ），

∴DE＝ ，

由折叠知，ED'＝DE＝，∠DEQ＝∠FEQ，

如图5，设直线AD交y轴于H，

∵点A（4，0），D（1，6），

∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+8，

∴H（0，8），

在Rt△AOH中，tan∠AHO＝ ,＝ ，

∵DE∥y轴，

∴∠ADE＝∠AHO，

∴tan∠ADE＝，

设EE'与AD的交点为F，

①当∠DFE＝90°时，如图3，

在Rt△DFE中，tan∠ADE＝＝，

∴DF＝2EF，根据勾股定理得，EF2+（2EF）2＝（）2，

∴EF＝，DF＝，

过点D作DN∥EE'交EQ的延长线于N，

∴∠FEQ＝∠N，

∴∠DEQ＝∠N，

∴DN＝DE＝，

∵DN∥EF，

∴△QFE∽△QDN，

∴ ，

∴ ，

∴DQ＝ ，

②当∠DEF＝90°时，如图4，过点D作DN∥EF交EQ的延长线于N，

在Rt△DEF中，tan∠ADE＝ ＝ ，

∴EF＝ DE＝ ，根据勾股定理得，DF＝ ，

同①的方法得，DN＝DE＝ ，

∵DN∥EF，

∴△QFE∽△QDN，

∴ ，

∴ ，

∴QD＝ ．

即：DQ的长为 或．

故答案为：（1）（4，0），y＝3x+3，（1，6）；（2）M（0，9）；（3）或．