Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝5，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？指出点M的位置，并加以证明．

Answer

（1）四边形AQMP的周长＝10；（2）点M位于BC的中点时，四边形AQMP是菱形．理由见解析.

【解析】

（1）根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；

（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长．

（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∴AQ=MP，QM=AP．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵∠B=∠PMC，∠C=∠QMB，∴∠PMC=∠QMB，∴BQ=QM，PM=PC，∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=10．

（2）点M位于BC的中点时，四边形AQMP是菱形．理由如下：

∵BM=MC，PM∥AB，MQ∥AC，∴AP=PC，AQ=BQ，∴PMAB，MQAC．

∵AB=AC，∴MP=MQ．

∵四边形AQMP是平行四边形，∴四边形AQMP是菱形．