Question

Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．

Answer

4或或

【解析】

分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．

①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．

∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．

连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°．

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2．

在Rt△BAC中，BC ，∴BD ；

③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=ACsin45°=2．

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°．

又∵在Rt△ABC中，BC ，

∴BD．

故BD的长等于4或或．

故答案为：4或或．