Question

(1)（操作发现）

如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，∆ABC 的三个顶点均在格点上．现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为 B′，点 C 的对应点为 C′， 连接 BB′，如图所示则∠AB′B＝            ．

（2）（解决问题）

如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长；

（3）（灵活运用）

如图 3，将（2）题中“在等边∆ABC 内有一点 P 改为“在等腰直角三角形 ABC 内有一点P”，且 BA=BC,PA＝6，BP＝4，PC＝2，求∠BPC 的度数.

            

Answer

（1）如图1所示，见解析；45°；（2）∠BPC＝150°，PP′＝；（3）∠BPC＝135°.

【解析】

（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可，只要证明△ABB'是等腰直角三角形即可；

（2）根据旋转的性质，可得△P'PB是等边三角形，由等边三角形的性质即可求出PP'的长；而△PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP'B=150°，从而得出结论；

（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，与（1）类似：可得：∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，求出∠BEP=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AEP=90°，即可得出结论．

如图1所示，连接BB'，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，

∴AB=AB'，∠B'AB=90°，∴∠AB'B=45°．

故答案为：45°；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP'，如图2，

∴AP'=CP=1，BP'=BP=，∠PBC=∠P'BA，∠AP'B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP'是等边三角形，

∴PP'=，∠BP'P=60°．

∵AP'=1，AP=2，

∴AP'2+PP'2=12+（）2 =4，AP2=22=4，

∴AP'2+PP'2=AP2，

∴∠AP'P=90°，则△PP'A是直角三角形，

∴∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°；

（3）如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE=PC=2，BE=BP=4，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，

由勾股定理得：EP=．

∵AE=2，AP=6，EP=，

∴AE2+PE2=22+2=36 2=62=36，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．