Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1)欲证明BC是⊙O的切线，只需证明AB⊥BC即可；

(2)连接OM，设⊙O的半径是r，在Rt△AEM中，OE＝AE﹣OA＝﹣r，ME＝1，OM＝r，利用勾股定理即可求得.

（1）证明：∵在△AME中，AM＝2，ME＝1，AE＝，

∴AM2＝ME2+AE2，

∴△AME是直角三角形，

∴∠AEM＝90°，

又∵MN∥BC，

∴∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

而AB为直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）【解析】
连接OM，如图，设⊙O的半径是r，

在Rt△OEM中，OE＝AE﹣OA＝﹣r，ME＝1，OM＝r，

∵OM2＝ME2+OE2，

∴r2＝12+（﹣r）2，

解得r＝，

即⊙O的半径为．

故答案为：(1)证明见解析；(2)．