Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．

（1）求证：AE⊥DE；

（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．

Answer

（1）见解析；（2）AF＝2

【解析】

(1)首先连接OC，由OC=OA，=，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；

(2)由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．

（1）证明：连接OC，

∵OC＝OA，

∴∠BAC＝∠OCA，

∵=，

∴∠BAC＝∠EAC，

∴∠EAC＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于点C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA＝60°，

∴∠BAC＝∠EAC＝30°，

∵△AEC为直角三角形，AE＝3，

∴AC＝2，

连接OF，

∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，

∴△OAF为等边三角形，

∴AF＝OA＝AB，

在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，

∴AB＝＝＝4，

∴AF＝2．

故答案为：(1)证明见解析；(2)2.