Question

如图，已知正方形OEFG的顶点O与正方形ABCD的中心O重合，若正方形OEFG绕O点旋转．

（1）探究：在旋转的过程中线段BE与线段CG有什么数量关系及位置关系？证明你的结论；

（2）若正方形ABCD的边长为a，探究：在旋转过程中四边形OMCN的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．

Answer

(1)BE＝CG，BE⊥CG，理由见解析；(2)不发生变化，a2.

【解析】

(1)连接OB、OC，延长GC交BE于T点，交OE于H点，根据四边形ABCD、EFGO是正方形，可以得到OG=OE，OB=OC，∠EOB=∠GOC，则△OBE≌△OCG，得到BE＝CG，利用对顶角和等量代换可得到∠THE=90°，即BE⊥CG；

(2)利用ASA定理证明△OBM≌△OCN，得到S△OCN=S△OBM，则四边形OMCN和面积等于△BOC的面积，则无论怎么旋转OMCN的面积都是不变的.

【解析】
（1）BE＝CG，BE⊥CG，理由如下：

连接OB、OC，延长GC交BE于T点，交OE于H点，

∵O是正方形的中心，∴OB＝OC．

∵∠BOE+∠MOC＝90°，∠COG+∠MOC＝90°，

∴∠BOE＝∠COG．

又OE＝OG，

∴△OBE≌△OCG（SAS）．

∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO．

∵∠OHG+∠CGO＝90°，∠OHG＝∠EHT，

∴∠EHT+∠BEO＝90°，即∠HTE＝90°，

所以GC⊥BE．

（2）在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化，理由如下：

在△OBM和△OCN中

∴△OBM≌△OCN（ASA）

∴四边形OMCN的面积＝△OMC面积+△OCN面积＝△OMC面积+△OBM面积＝△OBC面积．

∵△OBC面积＝a2．

所以在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化．

故答案为：(1)BE＝CG，BE⊥CG，理由见解析；(2)不发生变化，a2.